Teorema je "tačan" iskaz o matematičkom sistemu koji posmatramo (o modelu). Na primer, iskaz
Zbir dve stranice trougla mora biti veći od treće stranice
je teorema u Euklidovoj geometriji (geometrija u ravni, ono na šta ste navikli u matematici). Ova tvrdnja smatra se tačnom jer se može izvesti iz drugih prethodno prihvaćenih ili izvedenih istinitih tvrđenja u Euklidovoj geometriji.
Matematički sistem počinje nedefinisanim pojmovima i tvrdnjama koje precizno opisuju osnovne karakteristike ili istine o tim pojmovima, koje matematičari dalje koriste za pravljenje sistema. Te osnovne istine nazivamo aksiom i postulat. Iskaz izveden (dokazan) korišćenjem aksioma, postulata, prethodno dokazanih iskaza i pravila logike naziva se teorema.
U matematičkom sistemu sve informacije neophodne za dokazivanje moraju da se sadrže u aksiomama i prethodno dokazanim teoremama, ali naravno da ne moramo da krećemo od početka već možemo da se naslonimo na postojeće već dokazane teoreme i tretiramo ih kao aksiome, tj. polazne tačke.
Termini
Pravila logike koja koristimo za izvođenje novih teorema zovu se pravila izvođenja.
Argument se satoji od skupa iskaza, koji se nazivaju hipoteze i jednog iskaza koji se naziva zaključak.
Valjan argument je argument koji je tačan kad su sve hipoteze tačne. Pravila izvođenja su i sama po sebi valjani argumenti.
Hipoteza je lista jednog ili više iskaza koje nazivamo i premise.
Zapisivanje
Argument se često (ovo ćete posebno sresti u filozofiji) navodi u sledećem obliku:
H1
H2
H3
∴ C
Simbol ∴ znači "stoga/dakle/sledi". Argument je u ovom slučaju valjan ukoliko je
uvek kada su hipozete H1,H2 i H3 tačne tada je zaključak C tačan
ili, drugim rečima:
uvek kada je iskaz H1 ∧ H2 ∧ H3 tačan tada je zaključak C tačan.
Postoji dva načina za utvrđivanje valjanosti argumenta. Prvi način je tablica istinitosti a drugi način je primenom pravila izvođenja.
Primer: Valjanost sledećeg argumenta može se lako dokazati, i tablicom i izvođenjem (očigledno je). Ovakav argument zove se modul ponens.
p
p -> q
∴ q
Neka su p i q sledeći iskazi:
p: b je paran broj
q: b je deljiv sa 2
Tada modus ponens ovih iskaza izgleda ovako:
p -> q ako je b paran broj tada je b deljiv sa 2
p b je paran broj
∴ q ∴ b je deljiv sa 2
Prilično očigledno.
Sledi nekoliko pravila izvođenja. Primetićete izvesne sličnosti sa pravilima iskazne logike.
1. Zakon odvajanja - modus ponens
p
p -> q
∴ q
2. SIlogizam
p -> q
q -> r
∴ p -> r
3. Modul tolens
p -> q
~q
∴ ~p
4. Dodavanje
p
∴ p ∨ q
5. Specijalizacija
p ∧ q
∴ p
6. Konjukcija
p
q
∴ p ∧ q
7. Slučajevi
p ∨ q
p -> r
q -> r
∴ r
8. Eliminacija slučaja
p ∨ q
p -> (r ∧ ~r) tj. iz p sledi kontradikcija
∴ q
9. Svođenje na kontradikciju - reductio ad absurdum
~p -> (r ∧ ~r)
∴ p