Kvantifikacija
Osnovna novina u predikatskoj logici, u odnosu na iskaznu logiku, su kvantifikatori. Predikatska logika omogućava nam da izrazimo i to da svi ili neki objekti imaju određeno stvojstvo ili su u određenom odnosu. Ako tih objekata ima konačno mnogo možemo da napravimo i konjunkciju ili disjunkciju iskaza koji govore o pojedinačnim objektima. Kvantifikatori omogućavaju opisivanje ovakvih iskaza-tvrdnji.
Egzistencijalni kvantifikator kaže da neka osobina važi na neke članove skupa. Koristi se oznaka ∃ - Exists
Univerzalni kvantifikator kaže da neka osobina važi za sve članove skupa. Koristi se oznaka ∀ - All
U iskazu koristimo promenljive x,y,z… koje predstavljaju elemente. Kvantifikatorima označavamo da li se misli na sve ili neke elemente. Zatim navodimo osobine koje za te (sve ili neke) elemente važe, odnosno logički iskaz koji treba da bude tačan za takve elemente. Iskaz obuhvata funkcije i svojstva tih elemenata, koje se kombinuju logičkim operatorima (i,ili,ne,sledi,ekvivalentno).
Primeri
Postoji ceo broj y čiji je kvadrat = 1.
(∃y∈N)(y2=1)
Pripadanje skupu celih brojeva možemo da tretiramo kao svojstvo – y je ceo broj. Ovaj zapis možemo da čitamo i kao “ako su y prirodni brojevi, onda postoji takav y čiji je kvadrat 1”, ili kao “postoji y za koje važi da ako je y prirodan broj onda ima kvadrat 1”. Pa to možemo da zapišemo i ovako:
(∃y)( prirodanBroj(y) -> kvadrat(y, 1) )
ili ovako:
∃y: prirodanBroj(y) -> kvadrat(y, 1)
ili ovako:
∃y.prirodanBroj(y) -> kvadrat(y, 1)
ili na još neki način, zavisi od autora. Svakako primećujete da prvo kvantifikatorom naznačavamo da li se misli na sve ili neke, a onda opisujemo uslov.
Svi ljudi su smrtni
Drugim rečima: svako x koje je čovek je smrtno.
Ili dalje: Svako x koje ima svojstvo čovek ima i svojstvo smrtan.
∀x.čovek(x) -> smrtan(x)
∀x: čovek(x) -> smrtan(x)
(∀x) ( čovek(x) -> smrtan(x) )
Primetite da ovde imamo implikaciju: za svako x važi da ako je x čovek onda je smrtan. Ovo na prvi pogled može da deluje kao konjukcija, da je nešto i čovek i smrtan - što i jeste tačno na neki način, jer ono što je čovek, to je i smrtan pa takvi elementi zaista jesu i jedno i drugo, ali bi takva rečenica bila oblika Svi elementi x su i ljudi i smrtni.
ne postoji savršen čovek
¬∃x.čovek(x) ∧ savršen(x)
ne postoji x takvo da je x čovek i da je x savršen. x ovde treba da ima i jednu i drugu osobinu.
svi parni brojevi su deljivi sa 2
∀x.paran(x) -> 2|x
Ako je broj paran onda je deljiv sa dva
sledbenici nekih parnih brojeva su deljivi sa 3
∃x.paran(x) ∧ 3|(x+1)
I ovde, deljivost x+1 sa 3 nije posledica toga što je x paran broj. Da bi ovde bila implikacija rečenica bi bila oblika: postoji broj x takav da ako je paran onda je njegov sledbenik deljiv sa 3. Ovde izjavljujemo da postoji broj koji ima i osobinu parnosti i osobinu da mu je sledbenik deljiv sa tri.
ne postoji broj koji je veći od svih ostalih brojeva
¬∃x∀y(y<x)
Logika prvog i logike višeg reda
U logici prvog reda kvantifikacija se vrši samo po primitivnim objektima (Perica, Dragica, 2, 3, ...) i time ćemo da se bavimo u nastavku.
U logikama višeg reda moguće je raditi kvantifikaciju funkcijskih i relacijskih simbola, pa npr. možemo da izrazimo nešto oblika: objekat a ima sva moguća svojstva p - ∀p.p(a)
Šta ako iskaz nema kvantifikatore?
Takav iskaz ima smisla i može da bude validan. Istinitosna vrednost takvog istaza zavisi od vrednosti promenljive. Ne možemo da kažemo da je takav iskaz uvek tačan ili uvek netačan.
Npr. iskaz ∀x.x>0 ne zavisi od konkretne vrednosti promenljive x već od svih mogućih vrednosti koje x može da dobije, odnosno od domena (skupa) x. Iskaz x>0 zavisi od toga šta x predstavlja u tom iskazu, koju konkretnu vrednost.